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家庭教育 初中几何面积问题
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发布时间：2006-05-20 20:51:11
>>>>>>>>提问
在RtΔABC中，AD是斜边上高，M，N分别是RtΔABD与RtΔACD的内心，连结MN并分别延长交AB，AC于K，L，记RtΔABC与RtΔAKL的面积分别为S，S1。
求证:S≥2S1。
休 闲宝贝网
>>>>>>>>休闲宝贝网回答：
证明 连结AM，DM，DN，AN。
由于RtΔABD∽RtΔACD，并注意到DM与DN是这两个相似直角三角形直角的分角线，而M与N又分别是它们的内心，所以DM/DN=BD/CD，
又易知∠MDN=直角，故RtΔABD∽RtΔMDN。
即有∠NMD=∠ABD，进而知K，M，D，B四点共圆。
据此∠AKL=∠MDB=45°。
故ΔAKL是等腰直角三角�
巍�
因为 AM是∠AKD分角线，∠AKL=∠MDA=45°，AM是公共边。
所以ΔKAM≌ΔDAM，即AK=AD。
因为S=AB*AC/2，AD=AB*AC/BC，
所以2S1=AK*AL=AD^2=AB^2*AC^2/BC^2
=(AB*AC/2)*(2*AB*AC)/(AB^2+AC^2)≦AB*AC/2=S。证毕。
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